Statistik Poisson dan Eksponensial

Author Unknown - -

Home » Statistik Poisson dan Eksponensial

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Secara umum pemodelan yang berkembang saat ini bisa dikategorikan dalam dua proses yaitu proses poisson dan proses deterministik. Pada proses stokastik banyak fenomena di alam yang bisa dibawa ke arah proses poisson. Proses antrean merupakan contoh nyata proses poisson yang banyak terjadi pada berbagai fasilitas pelayanan saat ini. Proses antrean merupakan suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, menunggu dalam baris antrean jika belum dapat dilayani, kemudian seorang pelanggan begitu dilayani hanya akan meninggalkan sarana pelayanan tersebut setelah selesai pelayanan. Bentuk distribusi kedatangan ada dua yaitu distribusi jumlah kedatangan dan distribusi waktu antar kedatangan. Sedangkan bentuk distribusi pelayanan juga ada dua yaitu distribusi jumlah pelayanan dan distribusi waktu pelayanan.

Pada proses kedatangan waktu antar kedatangan merupakan distribusi identik dan independen. Beberapa distribusi waktu antar kedatangan bisa berdistribusi eksponensial, general, deterministik atau poisson. Untuk memperoleh distribusi waktu antar kedatangan beberapa kasus antrean yang terjadi saat ini, seperti panggilan telpon, koneksi server internet, dan lalu lintas kendaraan dijalan tol pada arus mudik dan arus balik lebaran serta kedatangan pelanggan dikantor pos pada menjelang tahun baru dan lebaran tidak mudah didapatkan. Hal ini terjadi karena waktu antar kedatangannya yang sangat kecil, sekali sehingga sulit untuk mendapatkan data waktu antar kedatangannya, atau dalam interval waktu kecil, misalkan satu menit jumlah kedatangannya sangat besar.

1.2 TUJUAN PRATIKUM

Dari hasil pelaksanaan modul III ini dan dari hasil pengamatan atau survei yang dilakukan, praktikan diharapkan:

1. Dapat membedakan karakteristik distribusi poisson dan distribusi eksponensial.

2. Mampu menggunakan pendekatan distribusi binominal pada distribusi poisson.

3. Bisa menggunakan distribusi poisson dan distribusi eksponensial pada kehidupan sehari-hari.

1.3 ALAT DAN BAHAN

1. Stopwatch.

2. Komputer (software SPSS).

3. Kalkulator.

4. Tabel pengamatan.

5. Tabel bilangan random.

1.4 BATASAN MASALAH

Dalam praktikum modul III ini kita dituntut untuk dapat membedakan karakteristik dari distribusi poisson dan eksponensial. Dimana praktikum ini dilakukan dengan metode-metode pelaksanaan yaitu dengan memperhatikan antrean data yang diperoleh pada selang waktu tertentu. Pengumpulan data atau pengambilan data pada praktikum kali ini dilakukan dengan pengambilan secara langsung ke lapangan yang kemudian data diisikan pada front pengamatan (tabel data). Tempat pengambilan data pada RS. Yos Sudarso, dimana data yang diambil berjenis antrean pada kasir rumah sakit tersebut.

Selanjutnya penjelasan tentang pengambilan data yang berjenis antrean ini kita lakukan dengan 3 tahap, dimana:

1. Pengambilan data dengan menghitung jumlah antrean yang masuk pada server dengan k = 40, dimana pada masing-masing kelas berselang waktu 3 menit.

2. Pengambilan data dengan menghitung jumlah antrean yang masuk pada server dengan k = 40, dimana waktu berselang selama 4 menit.

3. Pengambilan data dengan menghitung waktu kedatangan orang yang mengantri pada kasir dengan jumlah data atau kelas sebanyak 105.

Kemudian setelah pengumpulan data selesai, maka dilakukan pengolahan data tersebut dengan menggunakan rumus-rumus distribusi poisson dan eksponensial pada pengolahan data secara manual.

1.5 SISTEMATIKA PENULISAN

Bab I Pendahuluan

Berisikan tentang pendahuluan yang terdiri dari latar belakang, tujuan pratikum, alat dan bahan, batasan masalah, dan sistematika penulisan.

Bab II Landasan Teori

Berisikan tentang landasan teori yang terdiri dari distribusi poisson dengan pembagian pengertian distribusi poisson, karakteristik, kegunaan dan aplikasi, rumus-rumus, hubungan dengan distribusi binominal, dan hubungan dengan distribusi normal dan berisikan tentang landasan teori distribusi eksponensial dengan pembagian pengertian distribusi eksponensial, karakteristik, kegunaan dan aplikasi, dan rumus-rumus yang digunakan.

Bab III Pengumpulan Data

Berisikan tentang pengumpulan data untuk distribusi poisson dan distribusi eksponensial.

Bab IV Pengolahan Data

Berisikan tentang pengolahan data yang dilakukan dengan cara komputer yang terdiri dari pengolahan data distribusi poisson dan eksponensial, serta pengolahan data secara manual untuk distribusi poisson dan eksponensial.

Bab V Analisa Data

Berisi tentang analisa data dari pengolahan data secara komputer dan pengolahan data secara manual.

Bab VI Penutup

Berisikan kesimpulan dan saran dari hasil praktikum.

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 DISTRIBUSI POISSON

2.1.1 Pengertian Distribusi Poisson

Distribusi poisson adalah distribusi peluang acak poisson x, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu. Bilangan x yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan poisson disebut peubah acak poisson dan sebaran peluangnya disebut sebaran poisson.

, untuk x = 1,2,3,………….

Dimana:

m = rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah tertentu.

e = 2,71828

Distribusi poisson ini hampir sama dengan distribusi binomial, hanya saja jumlah percobaan yang diulang (sampel) sangat besar dan probabilitasnya terjadi peristiwa sukses sangat kecil.

Maka distribusi poisson paling tepat untuk menggambarkan struktur probabilitas dari variabel random yang mencakup rentang yang cukup panjang. Sehingga didapat bahwasanya:

l= mean dari jumlah kemunculan antara interval o – t.

Selanjutnya variabel random x mengikuti ditribusi poisson bila fungsi probabilitasnya:

dimana: l = angka apa saja yang > 0

, dan

Distribusi poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi binomial pada saat n besar, sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan.

Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas binomial, dengan l = n.p

Dalam menyatakan distribusi poisson dari sebuah variabel random perlu diperhatikan hal-hal sebagai berikut:

1. Nilai peluang atau relasi matematika untuk menyatakan peluang.

2. Variabel berikut daerahnya.

3. Parameter-parameter dan daerahnya.

Dengan catatan:

· Variabel: nilai yang ingin diproleh dari pengamatan.

· Daerah variabel: semua nilai-nilai variabel yang didapat atau diperoleh dari pengamatan.

Kemudian mengenai variabel random, yaitu suatu fungsi yang bernilai real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel.

Dengan demikian suatu distribusi poisson dapat saja membangkitkan pengamatan pengamatan bagi peubah acak x pada selang waktu tertentu.

Bilangan x yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan/distribusi poisson dinamakan peubah acak poisson.

Selain dari itu ragam pada distribusi poisson dapat ditunjukkan sama dengan nilai tengahnya.

2.1.2 Karakteristik Distribusi Poisson

Karakteristik distribusi poisson diantaranya:

1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

2. Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya derah tersebut. Dan tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi diluar selang waktu atau daerah tersebut.

3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang terkecil tersebut, dapat diabaikan.

Namun adapula beberapa sifat dari distribusi poisson, diantaranya :

1. Nilai Tengah ® m = l

2. Variansi ® σ² = l

3. Simpangan Baku ® σ = Öl

4. Koefisien momen Kemencengan ®

5. Koefisien momen kurtosis ®

2.1.3 Kegunaan dan Aplikasi Distribusi Poisson

Kegunaan distribusi poisson untuk mengukur probabilitas dari variabel random yang mencakup rentang yang cukup panjang. Kemudian selain dari pada itu distribusi poisson juga berguna untuk mengukur peluang yang mungkin terjadi dalam waktu atau daerah tertentu.

Kemudian selain dari pada itu, distribusi poisson juga digunakan untuk menghitung distribusi binominal dengan mean dari distribusi poisson ditetapkan sesuai dengan nilai mean n.p dari distribusi binominal yang telah diketahui.

Distribusi poisson memiliki aplikasi, terutama dalam menghitung atau mengolah suatu data. Diantaranya, aplikasi distribusi poisson ini adalah digunakan dalam menghitung data antrean yang terjadi selama selang waktu atau daerah tertentu. Sebagai contoh pada RS. Yos Sudarso dalam menghitung peluang terjadinya antrean pada kasir dengan selang waktu 3 menit dan 4 menit. Kemudian dalam menghitung peluang terjadinya kesuksesan, sebagai contoh rata-rata 4 orang yang lulus dari 400 mahasiswa yang gagal seminar. Jadi dengan menggunakan distribusi poisson ini kita dapat mengetahui peluang yang terjadi pada selang waktu atau daerah tertentu.

2.1.4 Rumus Distribusi Poisson

Rumus dari distribusi poisson adalah sebagai berikut:

, untuk x = 0,1,2,……….

Dimana :

Mean =

Varian =

l adalah angka apa saja yang > 0

e = 2,71828

2.1.5 Hubungan Distribusi Poisson dengan Distribusi Binomial

Distribusi poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi binomial pada saat n besar, sedangkan p mendekati 0, dan np konstan.

Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas binomial, dengan l = np

Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang menyebabkan barang tersebut sukar dipasarkan. Rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Hitung probabilitas dalam sampel random sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung.

2.1.6 Hubungan Distribusi Poisson dengan Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan perkiraan terhadap distribusi binominal dan poisson. Bila jumlah percobaan binominal besar dan mean dari distribusi poisson besar, maka perhitungan probabilitas untuk variabel-variabel random tersebut amat sulit. Namun dengan adanya control limit Theorem bisa dilakukan perkiraan normal terhadap distribusi ini.

Variabel random x menggambarkan jumlah kemunculan kejadian dalam interval waktu tertentu dan x jumlah kemunculan yang diharapkan, atau mean interval waktu tersebut. Bila jumlah kemunculan l, besar dari interval waktu dipecahkan dalam sub interval yang sama panjang, maka jumlah total kemunculan adalah jumlah banyaknya kemunculan untuk tiap sub interval. Dengan demikian sesuai dengan Central Limit Theorem, dapat disimpulkan bila l besar, maka distribusi variabel random.

Sehingga untuk distribusi poisson hasil tersebut dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas, dan bila l hanya berukuran sedang akan dibutuhkan koreksi kontinuitas.

dengan koreksi kontinuitas, menjadi:

dimana Z memiliki distribusi normal standar.

2.2 DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

2.1.1 Pengertian Distribusi Eksponensial

Salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam statistika, khususnya proses stokastik, adalah distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial adalah salah satu kasus khusus dari distribusi gamma.

Peubah acak kontinu berdistribusi eksponensial dengan para meter l, bila fungsi padatnya:

dimana juga didapat:

dengan b > 0

Sehingga distribusi eksponensial juga disebut dengan distribusi gama dengan a = 1. Distribusi eksponensial juga merupakan suatu distribusi yang berguna untuk mencari selisih waktu yang terjadi dalam suatu peluang tertentu.

Dalam distribusi eksponensial ini digunakan pencarian atau pengolahan data dengan menggunakan variabel random. Dimana variabel random itu sendiri adalah variabel yang berupa nilai atau angka yang merupakan outcome dari eksperimen random. Variabel random bersifat diskrit bila hanya berupa nilai tertentu yang dapat dihitung. Namun variabel random bersifat kontinu bila mana berupa suatu nilai manapun dalam suatu interval.

2.2.2 Karakteristik Distribusi Eksponensial

Adapun karakeristik distribusi eksponensial sebagai berikut :

1. Mempunyai nilai variansi:

2. Mempunyai nilai mean:

3. Pencarian pada distribusi eksponensial menggunakan variabel random.

4. Peluang yang terjadi pada suatu percobaan mempengaruhi selisih waktu yang terjadi pda percobaan tersebut.

5. Mempunyai nilai b > 0.

2.2.3 Kegunaan dan Aplikasi Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial berguna dalam mencari selisih waktu yang terjai dalam suatu peluang pada daerah tertentu. Dalam aplikasinya distribusi eksponensial ini sangat berperan sekali, seperti: untuk mengukur selisih waktu antara orang 1 dan ke-2 dlam suatu antrean. Selanjutnya distribusi ini juga berguna untuk mengukur tingkat kegagalan yang mungkin terjadi dalam suatu peluang.

Kemudian distribusi eksponensial juga berguna dalam mencari peubah acak kontinu x, dengan menggunakan variabel random (bilangan acak).

2.2.4 Rumus-rumus yang Digunakan

Rumus yang digunakan dalam distribusi eksponensial ini adalah: